L’effetto farfalla

Riportiamo qui una “legge” che descrive l’evoluzione dell’errore nel tempo di una determinata condizione iniziale:

 δx(n) ≈ δx(0) * e^λn 

dove δx(0) rappresenta un noto errore iniziale, mentre δx(n) l’evoluzione dell’errore dopo un determinato tempo n, mentre e rappresenta il numero di Nepero (o Eulero), un numero costante irrazionale.

Si nota come per λ positivo tale evoluzione aumenti esponenzialmente col tempo, e quindi già dopo pochi passi n conosciamo l’evoluzione del sistema con una precisione esponenzialmente bassa.
Ciò significa che, ammesso che potessimo aumentare la precisione della condizione iniziale, dopo un certo periodo avremmo comunque un considerevole decadimento della conoscenza del comportamento del sistema, con l’errore iniziale che si amplifica in modo importante, ovvero con crescita esponenziale.

A tal proposito vale la pena ricordare un banale ma efficace esempio che faceva un docente universitario per spiegare il fenomeno: immaginiamo di versare caffè in un bicchiere di latte e volerlo mescolare per ottenere il cappuccino con un cucchiaio, che quindi genera moto nel fluido.
Con un certo numero di Reynolds ci aspettiamo un moto caotico del fluido, ma il caffè non soddisfa le equazioni di Navier-Stokes bensì una funzione con campo di velocità stazionario (moto del cucchiaio): nonostante ciò il moto risulta caotico.
Questo per dire che anche un campo di velocità stazionario e non caotico genera un moto della particella di caffè comunque caotico: se così non fosse dovremmo agitare il cucchiaio con estrema violenza per mescolare bene.

Quindi dal nostro punto di vista della vita di tutti i giorni ciò rappresenta un bene, ovvero possiamo muovere il cucchiaino in modo non violento (diciamo anche regolare) per ottenere il risultato desiderato, ovvero un moto caotico che mischi per bene il latte con il caffè; è altresì vero che ciò rappresenta invece un problema non di poco conto se applicato alla meteorologia.

Infatti, tornando all’ambito meteorologico, la suddetta teoria implica che anche se conoscessimo in un determinato istante posizione e velocità di ogni molecola atmosferica per l’intero globo, è stato calcolato che le previsioni deterministiche non potrebbero comunque estendersi oltre i 15 giorni, indipendentemente dal progresso tecnologico e dalle capacità di calcolo.

A fianco a queste previsioni deterministiche, per affrontare almeno in parte il discorso della caoticità dell’atmosfera tenendo conto maggiormente dei possibili errori iniziali, abbiamo le cosiddette previsioni probabilistiche che prevedono diverse simulazioni dell’evoluzione del sistema corrispondenti ad un certo numero di condizioni iniziali leggermente diverse fra loro.

Tali condizioni vengono cioè “perturbate” leggermente in modo da ottenere diverse simulazioni del sistema atmosfera, le quali vengono poi confrontate tra loro ottenendo una situazione media ed un certo range di dispersione tra ciascun membro rispetto ad essa. Chiaramente tale dispersione andrà poi ad aumentare andando più in là con l’intervallo previsionale, che come noto vede un decadimento abbastanza significativo quando appunto le varie soluzioni proposte possono divergere anche in modo netto tra loro.

Parliamo quindi delle Ensembles, i cosiddetti “spaghetti”, ovvero le varie soluzioni descritte dal modello matematico derivanti da queste variazioni dello stato iniziale; tali soluzioni a loro volta possono essere raggruppate nei cosiddetti cluster, ovvero gruppi di soluzioni che presentano evoluzioni simili (in particolare per la superficie isobarica di 500hPa).

Nel caso del centro europeo ECMWF abbiamo il relativo modello EPS (Ensemble Prediction System), mentre quello del centro americano NCEP-NOAA prende il nome di GEFS (Global Ensemble Forecast System). ■

a cura di Stefano Salamanna

Fonti:
Informazioni varie
Dispensa di “Fluidodinamica” – Prof. R. Benzi